이 문서는 다변수 다항식 사상(polynomial mapping)의 가역성에 관한 난제인 Jacobian Conjecture가 거짓임을 주장하는 반례를 제시합니다.

핵심 내용 및 방법론:

본 논문은 $\mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^3$로 가는 다음과 같은 다항식 사상 $F(x, y, z) = (f_1, f_2, f_3)$을 제안합니다.

$f_1 = (1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy)$
$f_2 = y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy)$
$f_3 = 2 x - 3 x^2 y - x^3 z$

이 사상의 Jacobian determinant($\det(JF)$)를 계산하면 상숫값인 $-2$가 도출됩니다. Jacobian Conjecture에 따르면, Jacobian 행렬식이 0이 아닌 상수가 되는 다항식 사상은 전단사(bijective)이며 그 역함수 또한 다항식이어야 합니다. 그러나 본 연구는 이 사상이 특정 점들에서 다대일(many-to-one) 대응을 보임을 증명함으로써 이 추측의 반례를 제시합니다.

구체적으로, 이 사상은 다음의 서로 다른 세 점 $(0, 0, -1/4)$, $(1, -3/2, 13/2)$, $(-1, 3/2, 13/2)$을 동일한 상(image)인 $(-1/4, 0, 0)$으로 보냅니다. 즉, 사상이 단사(injective)가 아님을 수치적으로 보여주며, 이를 통해 Jacobian Conjecture가 성립하지 않음을 논증합니다. 이는 대수기하학(Algebraic Geometry) 분야에서 오랜 기간 미해결 문제로 남아있던 추측에 대한 중요한 반론적 사례를 제공합니다.